Cours sur les dérivées : Imprimer    Cours sur les dérivées


Définition
Fonction dérivée
Opérations sur les dérivées
Dérivées des fonctions usuelles
Dérivées et tangentes



1.1) Définition:       retour


Définition:
Dire que la fonction f est dérivable en x0 existe   signifie que  la limite lorsque x tend vers x0 du quotient   existe et qu'elle est finie.

Lorsque c'est le cas, elle porte l'appellation de nombre dérivé de la fonction f en x0. Il est noté f'(x0).
Autrement écrit:

Les deux définitions sont équivalentes...



1.2)  Exemples:

 

On part de la définition du nombre dérivé : on étudie la limite lorsque x tend vers 1 du quotient  .

Pour tout x différent de 1, on peut écrire que :
 


Donc lorsque x tend vers 1, le quotient   tend vers  2 × (1 + 1) = 4.
Conclusion:
la fonction f(x) = 2.x2 + 1 est dérivable en x = 1. Le nombre dérivé de cette fonction en 1 vaut 4.    donc f'(1) = 4.

 


Etudions la limite lorsque x tend vers 0 du quotient .

Pour tout réel non nul x, on peut écrire :
 

Or lorsque x tend 0, tend vers +l'infini.
Comme le quotient n'a pas une limite finie alors la fonction g n'est pas dérivable en x = 0.


Conclusion:
la fonction racine g(x) = n'est pas dérivable en x = 0.

Ainsi donc, ce n'est pas parce qu'une fonction est définie en un point qu'elle y nécessairement dérivable.

Explication:
Le nombre dérivé d'une fonction g en un point est le coefficient directeur (ou la pente) de la tangente à la courbe de g en ce point.
Lorsque x se rapproche de 0, la courbe de la fonction g tend vers l'axe des ordonnées D. qui est sa tangente en 0.

Or c'est une droite verticale : sa pente est donc infinie. Comme la limite en 0 du quotient .

C'est aussi pour cela que la fonction racine g n'est pas dérivable en x = 0.


 

1.3)   Les méthode pour dériver.

Pour déterminer si une fonction f est dérivable en un point x0, il y a trois cheminements possibles :

  1. Première méthode:

    On peut essayer de déterminer la limite lorsque x tend vers  x0 du quotient  .

    C'est la définition du nombre dérivé.
    C'est ce qui a été fait avec le premier exemple du paragraphe précédent.

  2.  
  3. Seconde méthode:

    On peut aussi d&eacut;terminer la limite lorsque h tend vers 0 du quotient .

    Exemple:
    Déterminons par cette méthode le nombre dérivé en x0 = 1 de la 
    fonction f(x) = 2.x2 + 1.


    Pour tout réel h voisin de 0, on peut écrire que :

    Lorsque h tend vers 0, le quotient tend vers 4.
    Donc la fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé vaut 4.

  4.  
  5. Troisième méthode:

    On peut aussi chercher à écrire la fonction f sous la forme :

    où :
    • nombre est un réel à déterminer. C'est le nombre dérivé de f en x0.
    • un truc qui tend vers 0 en x0 est une fonction en x qui a pour limite 0 lorsque x tend vers x0.

    Essayons d'écrire la fonction f(x) = 2.x2 + 1 sous cette forme avec x0 = 1.
    Pour tout réel x:

    f(x) = 2.x2 + 1
    = 3 + 2.x2 - 2
    = f(1) + 2.(x - 1)2 + 4.x - 2 - 2
    = f(1) + 4.x - 4 + 2.(x - 1)2 
    = f(1) + 4 . (x -1) + (x - 1) . 2.(x-1)

    Comme la fonction 2.(x-1) tend vers 0 lorsque x tend vers 1 alors on peut dire que 4 est le nombre dérivé de la fonction f en 1.





2)  Fonction dérivée .       retour

 

2.1)   Définition:

Définition:
f est une fonction dérivable sur un ensemble I .

La fonction dérivée de la fonction f est la fonction notée f' et définie pour tout réel x de I par :

f' : x ®  Nombre dérivé de f en x






3) Opérations sur les dérivées:       retour


3.1)  Dérivée d'une fonction par un scalaire


Théorème:
On suppose que u est une fonction dérivable en x.

l est un nombre réel.
Si ces conditions sont remplies alors :

  • La fonction  l.u  est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x de la fonction l.u  est égal au produit de l  et du nombre dérivé de u au point x.


En résumé:

(l.u)' (x) = l . u'(x)

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = 7.x5.
La dérivée de la fonction x5 est égale à  5.x4 . D'où :

f'(x) = (7.x5)' = 7 . (x5)' = 7 . (5.x4) = 35.x4

 

  3.2)   Dérivée d'une somme.

Théorème:
u et v sont deux fonctions dérivables en x.
Si ces deux conditions sont remplies alors :

  • La fonction  u + v est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x de la somme u + v est la somme des nombres dérivés de u et v au point x.

En résumé:

(u + v)' (x) = u'(x) + v'(x)

La preuve

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = 7.x3 - 3.x2 + 3.
Les dérivées des fonctions x3, x2 et 3 sont respectivement 3.x2, 2.x et 0.
Ainsi :

f '(x)

= (7.x3 - 3.x2 + 3)'
= (7.x3)' - (3.x2)' + (3)'
= 7 . (x3)' - 3 . (x2)' + (3)'
= 7 . (3.x2) - 3 . (2.x) + 0
= 21.x2 - 6.x


3.3)  Dérivée d'un produit.

Théorème:
u et v sont deux fonctions dérivables en x.
Si ces deux conditions sont remplies alors :

  • La fonction u.v est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à  u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x).

En résumé:

(u.v)' (x) = u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x)

La preuve

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction  f(x) = (x3 - x +1) . (x2 - 1).
La fonction f est le produit des fonctions :

On peut donc écrire que :

f '(x)

= u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x)
= (x3 - x +1) . (2.x) + (x2 - 1) . (3.x2 - 1)
= 2.x4 - 2.x2 + 2.x + 3.x4 - x2 - 3.x2 + 1
= 5.x4 - 6.x2 + 2.x + 1 

 

3.4)   Dérivée de l'inverse d'une fonction .

Théorème:
u est une fonction dérivable en x. On suppose également que u(x) est non nul.
Si ces deux conditions sont remplies alors :

  • La fonction 1/u est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x de 1/u est égal à .

En résumé:

La preuve

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction
f(x) =
Cette fonction est l'inverse de la fonction  u(x) = x2 + 1 dont la dérivée est 2.x.
Ainsi :

 

3.5)   Dérivée d'un quotient .

"Diviser revient à multiplier par l'inverse".

Théorème:
u et v sont deux fonctions dérivables en x. On suppose également que v(x) est non nul.
Si ces trois conditions sont vérifiées alors :

  • La fonction  u/v  est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x du quotient u/v est égal à  .

En résumé:

La preuve

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = .
La fonction f est le produit des fonctions :

On peut donc écrire que :

 




4) Dérivées des fonctions usuelles:       retour


Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
k 0 La dérivée de  f(x) = 3
est  f'(x) = 0.
x 1 La preuve
x2 2.x La preuve
x3 3.x2 La preuve
xn n . xn-1 La preuve



Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
La preuve
La preuve
La preuve

n'est pas dérivable en 0.
La preuve



Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
sin(x) cos(x) La preuve
cos(x) -sin(x) La preuve
tan(x)
Là où tangente est définie.
La preuve

 


5) Dérivées et tangentes:       retour

4.1)   Définition:

La tangente à une courbe en un point A est la droite "limite" (AB) lorsque le point B se rapproche indéfiniment du point A tout en restant sur la courbe.
Par exemple, intéressons-nous à la courbe de la fonction f définie par :

f(x) = -0,3 . x2 + 1,8 . x

A et B sont deux points de la courbe de cette fonction.
L'abscisse de A vaut :

xA =
Le point B peut être déplacé par la souris. Rapproche le point B de A.

Lorsque le point B se rapproche du point A, la droite (AB) se "rapproche" de la tangente à la courbe en A.
Donc la pente de la droite (AB) tend vers la pente de la tangente.

Or le coefficient directeur (ou pente) de la droite (AB) est égal à :

 

Donc, la pente de la tangente à la courbe en A peut être vue comme étant la limite lorsque xB tend vers xA du quotient .

En résumé :

point B point A
droite (AB) tangente en A
pente de la tangente en A

Conclusion:



5.2  Equation de la tangente:

 

Théorème:
Si la fonction f est dérivable en
x0  alors  la courbe de la fonction f admet au point M(x0 ; f(x0)) une tangente dont l'équation réduite est :

y = f'(x0) . (x - x0) + f(x0

Exemple:
Déterminons l'équation réduite de la tangente dans le cas de notre premier exemple.

Cette fonction f est définie par :
f(x) = 2.x2 + 1
Déterminons l'équation de la tangente D à sa courbe en 
x0
= 1.

Nous savons déjà que :

f(1) = 3        f'(1) = 4.
L'équation réduite de la droite D est donc :

y
y
y
= f'(x0) . (x - x0) + f(x0)
= 4 . (x -1) + 3
= 4.x - 1.