Cours : fonctions affines et Valeurs absolues

Fonctions affines et Valeurs absolues

Fonctions affines

Distance et valeur absolue

Principales propriétés de la valeur absolue

Application à la résolution d'inéquations

La fonction carrée

La fonction cube

La fonction racine carrée

La fonction inverse

La fonction valeur absolue

I°) Fonctions affines retour

I.1°) Définition:

Exemples:

Cas particuliers:

I.2°) Représentations graphiques:

Cas particuliers:

I.3°) Sens de variation:

Théorème:

Preuve:

Exemple:

I.4°) Caractérisation:

Théorème:

Remarque:

Exemple:

Réponse:

II°) Définition de la valeur absolue.

II.1°) Distance entre deux réels. retour

Définition

Soient deux réels x et y. On appelle distance , entre x et y, notée d(x,y) la grandeur :

d(x , y) = y - x, si x < y

d(x , y) = x - y, si x y

Remarque:

La distance entre x et y est égale à la distance entre y et x.

Exemples:

Quelle est la distance entre le point d'abscisse 2 et celui dont l'abscisse est 7 ?

Représentons ces deux nombres sur la droite réelle.

La distance entre les nombres 2 et 7 est la longueur du segment ou du chemin joignant 2 à 7. C'est-à-dire 5.

d(2 , 7) désigne la distance entre les nombres 2 et 7.
Quelle est la distance entre -3 et 4 ?

La distance entre -3 et 4 vaut , car pour aller de -3 en 0, on parcourt une distance de 3 unités.
Puis pour aller de 0 à 4, on parcourt une distance de 4 unités. La somme de ces deux nombres vaut 7.

Plus généralement:

La distance entre et .

II.2°) Valeur absolue.

Définition

Soit x un réel. La valeur absolue du nombre x est la distance entre 0 et x.
Cette valeur absolue est notée |x|.

Ainsi:

|x| = d(0, x) = d(x , 0).

Propriétés:

1er cas:

Si x est un nombre négatif. En reportant x sur la droite numérique, il vient :
La distance entre x et 0 est égale à -x. En effet, en ajoutant -x à x, on obteint 0 ! Ainsi |x|= -x.
2ème cas:

Si x est nul.
La valeur absolue de x est la distance de x par rapport à lui-même. Autrement dit, |x| vaut 0.
3ème cas:

Si x est positif. En reportant x sur la droite numérique, il vient :
La distance entre 0 et x est égale à x. En effet, si l'on rajoute x à 0, on retrouve x ! Ainsi |x| vaut x.

En résumé, il faut retenir que :

Proposition: x est un réel.

Si x est négatif alors |x| = -x.

Si x est nul alors |x| = 0.

Si x est positif alors |x| = x.

Lien entre la distance entre x et y, et la valeur absolue de leur différence:

Proposition: Si x et y sont deux réels alors |x - y| = d(x , y ).

Exemple

III°) Principales propriétés de la valeur absolue. retour

III.1°) Propriétés généralles.

Propriété 1: Soit x un nombre réel alors |x| = |-x| .

Un réel et son opposé ont même valeur absolue. En effet, les réels x et -x sont situés à même distance de 0.

Propriété 2: Dire que |x| = 0 équivaut à dire que x = 0.

Le seul et unique réel dont la valeur absolue est 0, c'est 0.

Propriété 3: x est un réel et r un nombre positif ou nul.

Dire que |x| = r équivaut à dire que x = r ou x = -r.

Cette propriété est utile pour résoudre certaines équations.

Propriété 4: x et y sont deux réels quelconques.

Dire que |x| = |y| équivaut à dire que x = y ou x = -y.

Cette propriété est utile pour la résolution de certaines équations.

Attention:

La racine carrée du carré d'un réel n'est pas égale à ce réel mais à la valeur absolue de celui-ci.

III.2°) Inégalité triangulaire.

Proposition: Si x et y sont deux réels alors : |x + y|

|x| + |y|

Remarque:

Il y a égalité lorsque les réels x et y ont même signe.
On peut modifier l'inégalité triangulaire en remplaçant y par -y. On a alors :

|x - y| |x| + |y|

III.3°) Valeur absolue et multiplication.

Proposition: Si x et y sont deux réels quelconques alors |x.y| = |x|.|y|.

Autrement dit, la valeur absolue du produit, c'est le produit des valeurs absolues.

III.4°) Valeur absolue et division.

Proposition:

Autrement dit, la valeur absolue du quotient est égale au quotient des valeurs absolues.

IV°) Application à la résolution d'inéquations. retour

On se propose de résoudre l'inéquation : |x - 2| > 3.

|x - 2| est la distance qui sépare x de 2.

Ainsi résoudre cette inéquation revient à chercher l'ensemble des réels dont la distance à 2 est strictement supérieure à 3. Reportons sur la droite numérique ces différentes données.

Sur la droite numérique, les réels concernés sont représentés en rouge.

Les réels dont la distance à 2 est strictement supérieure à 3 sont ceux qui sont strictement inférieurs à -1 (il s'agit de l'intervalle ]- ; -1[ ) et ceux qui sont strictement supérieurs à 5 ( il s'agit de l'intervalle ]5 ; + [ ).

L'ensemble des solutions est donc la réunion de ces deux intervalles .

Ainsi S = ]- ; -1[ ]5 ; + [.

V°) La fonction carrée. retour

La fonction carrée est la fonction définie par : f(x) = x²

V.1°) Ensemble de définition.

C'est l'ensemble des réels qui ont une image par cette fonction.

Tout réel pouvant avoir un carré, l'ensemble de définition de la fonction carrée est donc IR.

V.2°) Parité.

La fonction carrée est une fonction paire.

Preuve:

f(-x) = (-x)² = ((-1) × x)² = (-1)² × x² = 1 × x² = x² = f(x).

Comme pour tout réel x, f(-x) = f(x), la fonction carrée est donc paire.

V.3°) Représentation graphique.

Commentaires:
Au voisinage de 0, la courbe semble coller de plus en plus à l'axe des abscisses. On dit alors que l'axe des abscisses est la tangente à la courbe en 0.

V.4°) Comportements asymptotiques .

x	10	10²	10³	10ⁿ
f(x)	100	10⁴	10⁶	10^2.n

f(x) devient très grand lorsque x devient grand. On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers + ou que : f a pour limite + en + .

x	1	0,1	10^-2	10^-n
f(x)	1	0,01	10^-4	10^-2.n

f(x) devient très petit lorsque x devient petit. On dit que f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0 ou que f a pour limite 0 en 0.

V.5°) Variations.

f est décroissante avant 0 c'est-à-dire sur l'intervalle ]- ; 0].
f est croissante après 0 c'est-à-dire sur l'intervalle [0 ; +[.

VI°) La fonction cube. retour

La fonction cube est la fonction définie par : f(x) = x³

VI.1°) Ensemble de définition.

C'est l'ensemble des réels qui ont une image par cette fonction.

Tout réel pouvant avoir un cube, l'ensemble de définition de la fonction cube est donc IR.

VI.2°) Parité.

La fonction cube est une fonction impaire.

Preuve:

VI.3°) Représentation graphique.

Représentation graphique de la fonction cube sur l'intervalle [-4,7 ; 4,7].

Commentaires:

La courbe admet l'origine comme centre de symétrie.
A son extrémité gauche, la courbe tend vers l'infiniment négatif.
A son extrémité droite, la courbe tend vers l'infiniment positif.
Au voisinnage de 0, la courbe s' approche, de plus en plus, de l'axe des ordonnées. On dit que l'axe des abscisses est tangente à la courbe en 0.

Courbe représentative de la fonction cube sur l'intervalle [-1,7 ; 1,7].

VI.4°) Comportements asymptotiques .

x	10	100	10³	10ⁿ
f(x)	1000	1000000	10⁹	10^3.n

Lorsque x tend vers -, f(x) tend aussi vers -. On dit que f a pour limite - en -.
f(x) tend vers + lorsque x tend vers +. On dit que la limite en + de la fonction f est +.

Dans le tableau de valeurs suivant :

x	1	0,1	10^-2	10^-n
f(x)	1	0,001	10^-6	10^-3.n

Lorsque x s' approche de 0 alors f(x) s'en approche d' autant plus !

VI.5°) Variations.

f est croissante avant 0 c'est-à-dire sur l'intervalle ]- ; 0].
f est croissante après 0 c'est-à-dire sur l'intervalle [0 ; +[.

Preuve:

Soient x et y deux réels positifs tels que: x < y.

Par passage de cette inégalité au carré, l'ordre est conservé et donc: x² < y².
En multipliant cette inégalité avec l'inégalité de réels positifs qu'est x < y, il vient :

Ainsi si x et y sont deux réels positifs tels que x < y, alors : f(x) < f(y).

f est donc croissante sur l'intervalle [0 ; +

[.
Comme de plus f est une fonction impaire alors f est aussi croissante sur ]-

; 0].

VII°) La fonction racine carrée. retour

La fonction racine carrée est la fonction définie par :

VII.1°) Ensemble de définition.

C'est l'ensemble des réels qui ont une image par cette fonction.

Seuls les réels positifs peuvent avoir une racine carrée.
L'ensemble de définition de la fonction racine carrée est donc : [0 ; +[.

VII.2°) Représentation graphique.

Représentation de la fonction racine sur l'intervalle [0 ; 10].

Commentaires:

Lorsque x croit, f(x) croit aussi, mais moins vite.
Au voisinnage de 0, la courbe s' approche, de plus en plus, de l'axe des ordonnées. On dit que l'axe des abscisses est tangente à la courbe en 0.

La fonction racine carrée au voisinage de 0.

VII.3°) Comportements asymptotiques .

x	1	100	10⁴	10^2.n
f(x)	1	10	10² = 100	10ⁿ

Lorsque x tend vers +, f(x) tend aussi vers +, mais moins vite.
On dit que f a pour limite + en +.

VII.4°) Variations.

f est croissante sur son domaine de définition, c'est-à-dire sur l'intervalle [0 ; +[.

Preuve:

Soient x et y deux réels positifs tels que: x < y.
Par passage de cette inégalité à la racine carrée, l'ordre se conservant :

Ainsi : f(x) < f(y).
La fonction f est donc croissante sur [0 ; +

VIII°) La fonction inverse. retour

La fonction inverse est la fonction définie par :

VIII.1°) Ensemble de définition.

C'est l'ensemble des réels qui ont une image par cette fonction.
Seuls les nombres réels non nuls peuvent avoir un inverse.
L'ensemble de définition de la fonction inverse est donc : ]-

; 0[ U [0 ; +

[.
La fonction inverse est donc définie sur deux parties de la droite réelle séparée par 0.

VIII.2°) Parité.

La fonction inverse est une fonction impaire.

Preuve:

Si x est un réel, alors :

VIII.3°) Représentation graphique.

Représentation graphique de la fonction inverse sur l'intervalle [-15,2 ; 15,2].

Commentaires:

La courbe admet l'origine pour centre de symétrie.
Plus x est grand (positivement ou négativement) et plus la courbe se rapproche de l'axe des abscisses. On dit que l' axe des abscisses est une asymptote à la courbe en - et en +.
Plus x est petit (positivement ou négativement) et plus la courbe se rapproche de l'axe des ordonnées. On dit que l' axe des ordonnées est une asymptote à la courbe en 0.

VIII.4°) Comportements asymptotiques .

x	1	10	10²	10ⁿ
f(x)	1	0,1	0,01 = 10^-2	10^-n

Lorsque x tend vers + , f(x) tend vers 0.
On dit que la limite en + de la fonction f est 0.

x	1	0,1	10^-2	10^-n
f(x)	1	10	10² = 100	10ⁿ

Plus x est petit et plus f(x) devient grand: f(x) tend vers + lorsque x tend vers 0.
On dit que la limite en 0 de f est +.

VIII.5°) Variations.

f est décroissante sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; + [.

La double barre en dessous de 0 est là pour indiquer que 0 n'a pas d'image par la fonction inverse.

Preuve:

Soient x et y deux réels strictement négatifs tels que: x < y.
Comme x et y ont même signe, par passage de cette inégalité à l'inverse :

donc: f(x) > f(y).
Ce qui prouve la décroissance de la fonction inverse sur ]-

; 0[.
Comme de plus la fonction est impaire, la décroissance sur l'intervalle ]-

; 0[ implique la décroissante sur ]0 ; +

[.
Ainsi donc, f est décroissante sur IR^*.

IX°) La fonction valeur absolue. retour

La fonction "valeur absolue" est la fonction définie par : x->|x|

IX.1°) Ensemble de définition.

C'est l'ensemble des réels qui ont une image par cette fonction.
Tous les nombres réels peuvent avoir une valeur absolue.
L'ensemble de définition de la fonction "valeur absolue" est donc IR.

IX.2°) Parité.

La fonction "valeur absolue"est une fonction paire.

Preuve:

Un réel et son opposé ont même valeur absolue.
Ainsi, pour tout réel x :
f(-x) = |-x| = |x| = f(x).

IX.3°) Représentation graphique.

Si x ]- ; 0] alors f(x) = |x| = -x.
Si x [0 ; +[ alors f(x) = |x| = x.

La fonction valeur absolue est donc l'union de la fonction: g(x) = -x définie sur l'intervalle ]- ; 0]
et de la fonction: h(x) = x définie sur l'intervalle [0 ; +[.

On dit que la fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux.

D'où la courbe:

IX.4°) Variations.

f est décroissante sur ]- ; 0].
f est croissante sur [0 ; +[.