Cours: Milieux et droites
parallèles dans un triangle.
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Théorème 1
Théorème 2
Théorème 3
Proportionnalité des longueurs
Egalités de rapports
Animations




1) Théorème 1:       retour

Théorème:

Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.



Exemple:

Hypothèses:
  • M est le milieu de [AB]
  • N est le milieu de [AC]

Conclusion:

  • (MN) // (BC)





2) Théorème 2:       retour

Théorème:

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté, et si elle est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième en son milieu.



Exemple:

Hypothèses:
  • M est le milieu de [AB]
  • d passe par M et d // (BC)

Conclusion:

  • d coupe [AC] en son milieu N





3) Théorème 3:       retour

Théorème:

Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.



Avec les hypothèses des deux précédents théorèmes, on peut donc aussi en déduire que:





4) Proportionnalité des longueurs dans un triangle:       retour

Théorème:

Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC] et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors :      




Exemple:

Hypothèses:
  • M est sur [AB]
  • N est sur [AC]
  • (MN) // (BC)

Conclusion:



Remarque:

  • Les longueurs des côtés du triangle ABC sont proportionnelles aux longueurs
    des côtés "associés" du triangle AMN.
  • On peut aussi écrire





5) Egalités de rapports::       retour

Propriété:
Si
(b et d non nuls) alors ad = bc


Exemple:
Si dans un exercice, tu obtiens alors tu peux trouver la valeur de AB:
5×AB = 8×6  ;  5×AB = 48 donc AB = 48/5 = 9,6





6) Animations::       retour



6.1°) Droite des milieux 1 

Revoir l'animation

Dans un triangle ABC, la droite passant par les milieux I et J des côtés [AB] et [AC] est parallèle au troisième côté [BC].

IJ = 1/2 BC et IJ // BC.

6.2°) Droite des milieux 2 

Dans un triangle ABC, si une droite (d) est parallèle à un côté et passe par le milieu d'un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

I milieu de [AB] et (d) // (BC)
alors J est le milieu de [AC].

Revoir l'animation




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